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By Didier Müller, août 2010 www.apprendre-en-ligne.net

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Remarques La courbe (C) n’est pas nécessairement le graphe Une représentation paramétrique d’une courbe (C) est un système d’équations où les coordonnées des points de la courbe sont exprimées en fonction d’un paramètre (souvent noté t, k, θ, …). d’une fonction ; c’est pourquoi on parle de courbe (C) : paramétrée et non pas de { x = f t  y = g t  fonction paramétrée. Ces équations sont appelées équations paramétriques de (C). On peut parfois, en éliminant le paramètre t entre les deux équations, obtenir y comme On note parfois également { x = xt y = yt  fonction de x, et ramener l’étude de la courbe à celle d’une courbe définie par une Si l’on veut que cette définition ait un sens, il faut que x(t) et y(t) existent simultanément.

Il faut d'abord trouver xT, l'abscisse du point de tangence. 1. 2. 3. 4. 5. Calculer f ' (x). Poser y0 – f (xT) = f ' (xT )(x0 – xT) et résoudre pour trouver xT . yT = f (x T ). m = f ' (xT). Introduire les coordonnées du point de tangence (xT ; yT) dans l'équation y – yT = m(x – xT). 6. Simplifier cette équation pour en obtenir une de la forme y = mx + h. L'équation du point 2 provient de y – yT = m(x – xT). En effet, m = f '(xT ) et comme le point A appartient à la droite, ses coordonnées doivent satisfaire l'équation de celle-ci.

3. Croissance et concavité (rappels) Le signe de la dérivée d'une fonction f renseigne sur sa croissance et sa décroissance. Si f ' > 0 sur un intervalle, alors f est croissante sur cet intervalle. Si f ' < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante sur cet intervalle. La dérivée seconde f '' renseigne sur la concavité de la fonction. Si f '' > 0 sur un intervalle, alors f est convexe sur cet intervalle. Si f '' < 0 sur un intervalle, alors f est concave sur cet intervalle. Lorsque f ''(c) = 0, alors il y a un point d'inflexion en c.

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